一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）曲线y=lnx上与直线 垂直的切线方程为 .

【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。

【详解】 由 ，得x=1, 可见切点为 ，于是所求的切线方程为

， 即 .

【评注】 本题也可先设切点为 ，曲线y=lnx过此切点的导数为 ，得 ，由此可知所求切线方程为 ， 即 .

（2）已知 ，且f(1)=0, 则f(x)= .

【分析】 先求出 的表达式，再积分即可。

【详解】 令 ，则 ，于是有

， 即

积分得 . 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= .

【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。

 

（3）设 为正向圆周 在第一象限中的部分，则曲线积分 的值为 .

【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。

【详解】 正向圆周 在第一象限中的部分，可表示为

 

于是

=

【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.

 

（4）欧拉方程 的通解为 .

【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 化为常系数线性齐次微分方程即可。

【详解】 令 ，则 ，

，

代入原方程，整理得

，

解此方程，得通解为

【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 ，则欧拉方程

，

可化为

 

（5）设矩阵 ，矩阵B满足 ，其中 为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则 .

【分析】 可先用公式 进行化简

【详解】 已知等式两边同时右乘A，得

， 而 ，于是有

， 即 ，

再两边取行列式，有 ，

而 ，故所求行列式为

【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵 ，一般均应先利用公式 进行化简。

（6）设随机变量X服从参数为 的指数分布，则 = .

【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。

【详解】 由题设，知 ，于是

=

=

【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。

 

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）把 时的无穷小量 ，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

(A) . (B) . (C) . (D) . [ B ]

【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.

【详解】 ，可排除(C),(D)选项，

又

= ，可见 是比 低阶的无穷小量，故应选(B).

【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将 分别与 进行比较，再确定相互的高低次序.

 

（8）设函数f(x)连续，且 则存在 ，使得

(A) f(x)在（0， 内单调增加. （B）f(x)在 内单调减少.

(C) 对任意的 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的 有f(x)>f(0) . [ C ]

【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。

【详解】 由导数的定义，知

，

根据保号性，知存在 ，当 时，有

 

即当 时，f(x)<f(0); 而当 时，有f(x)>f(0). 故应选(C).

【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。

 

（9）设 为正项级数，下列结论中正确的是

(A) 若 =0，则级数 收敛.

（B） 若存在非零常数 ，使得 ，则级数 发散.

(C) 若级数 收敛，则 .

(D) 若级数 发散, 则存在非零常数 ，使得 . [ B ]

【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.

【详解】 取 ，则 =0，但 发散，排除(A)，(D)；

又取 ，则级数 收敛，但 ，排除(C), 故应选(B).

【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，

，而级数 发散，因此级数 也发散，故应选(B).

 

（10）设f(x)为连续函数， ，则 等于

(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ]

【分析】 先求导，再代入t=2求 即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.

【详解】 交换积分次序，得

=

于是， ，从而有 ，故应选(B).

【评注】 在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x:

 

否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。

 

（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为

(A) . (B) . (C) . (D) .

[ D ]

【分析】 本题考查初等矩阵的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积。

【详解】由题设，有

， ，

于是，

可见，应选(D).

【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。

 

（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.

(B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.

(C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.

(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. [ A ]

【分析】A,B的行列向量组是否线性相关，可从A,B是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.

【详解1】 设A为 矩阵，B 为 矩阵，则由AB=O知，

.

又A,B为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)<n, r(B)<n, 即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，故应选(A).

【详解2】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，而B为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A的列向量组线性相关。

同理，由AB=O知， ，于是有 的列向量组，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).

【评注】 AB=O是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：

1） AB=O ;

2） AB=O B的每列均为Ax=0的解。

 

（13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的 ，数 满足 ，若 ，则 等于

(A) . (B) . (C) . (D) . [ C ]

【分析】 此类问题的求解，可通过 的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论。

【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知， ，于是

 

即有 ，可见根据定义有 ，故应选(C).

【评注】 本题 相当于分位数，直观地有

 

 

 

o

 

（14）设随机变量 独立同分布，且其方差为 令 ，则

(A) Cov( (B) .

(C) . (D) . [ A ]

【分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：

【详解】 Cov(

=

【评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如

 

= ，

 

 

设 , 证明 .

【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.

【证法1】 对函数 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得

 

设 ，则 ，

当t>e时， 所以 单调减少，从而 ，即

，

故 .

【证法2】 设 ，则

，

,

所以当x>e时， 故 单调减少，从而当 时，

，

即当 时， 单调增加.

因此当 时， ，

即 ，

故 .

【评注】 本题也可设辅助函数为 或

，再用单调性进行证明即可。

 

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？

注kg表示千克，km/h表示千米/小时.

【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。

【详解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度 . 从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).

根据牛顿第二定律，得

.

又 ，

由以上两式得

，

积分得 由于 ，故得 ，从而

 

当 时，

所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.

【详解2】 根据牛顿第二定律，得 ,

所以

两端积分得通解 ，代入初始条件 解得 ，

故

飞机滑行的最长距离为

 

或由 ，知 ，故最长距离为当 时，

【详解3】 根据牛顿第二定律，得 ,

，

其特征方程为 ，解之得 ，

故

由 ，

得 于是

当 时，

所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.

【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为 或 的极限值，这种条件应引起注意.

计算曲面积分

 

其中 是曲面 的上侧.

【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.

【详解】 取 为xoy平面上被圆 所围部分的下侧，记 为由 与 围成的空间闭区域，则

 

 

由高斯公式知

 

=

=

而 ，

故

【评注】 本题选择 时应注意其侧与 围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在 上直接投影积分时，应注意符号( 取下侧，与z轴正向相反，所以取负号).

 

设有方程 ，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根 ，并证明当 时，级数 收敛.

【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。

【证】 记 由 ， ，及连续函数的介值定理知，方程 存在正实数根

当x>0时， ，可见 在 上单调增加, 故方程 存在惟一正实数根

由 与 知

，故当 时， .

而正项级数 收敛，所以当 时，级数 收敛.

【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证。

 

设z=z(x,y)是由 确定的函数，求 的极值点和极值.

【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.

【详解】 因为 ，所以

，

.

令 得

故

将上式代入 ，可得

或

由于 ，

 

，

所以 ， ， ，

故 ，又 ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.

类似地，由

， ， ，

可知 ，又 ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为

z(-9, -3)= -3.

【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。

 

设有齐次线性方程组

 

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.

【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a的可能取值进行讨论即可。

【详解1】 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有

 

当a=0时， r(A)=1<n，故方程组有非零解，其同解方程组为

 

由此得基础解系为

 

于是方程组的通解为

其中 为任意常数.

当 时，对矩阵B作初等行变换，有

 

可知 时， ，故方程组也有非零解，其同解方程组为

 

由此得基础解系为

，

于是方程组的通解为

，其中k为任意常数.

【详解2】 方程组的系数行列式为

.

当 ，即a=0或 时，方程组有非零解.

当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有

，

故方程组的同解方程组为

 

由此得基础解系为

 

于是方程组的通解为

其中 为任意常数.

当 时，对系数矩阵A作初等行变换，有

 

，

故方程组的同解方程组为

 

由此得基础解系为

，

于是方程组的通解为

，其中k为任意常数.

【评注】 矩阵A的行列式 也可这样计算：

= + ，矩阵 的特征值为 ，从而A的特征值为a,a, , 故行列式

 

设矩阵 的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化.

【分析】 先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A是否可相似对角化即可.

【详解】 A的特征多项式为

 

=

当 是特征方程的二重根，则有 解得a= -2.

当a= -2时，A的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A= 的秩为1，故 对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化。

若 不是特征方程的二重根，则 为完全平方，从而18+3a=16，解得

当 时，A的特征值为2，4，4，矩阵4E-A= 秩为2，故 对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化。

【评注】 n阶矩阵A可对角化的充要条件是：对于A的任意 重特征根 ，恒有 而单根一定只有一个线性无关的特征向量。

 

设A,B为随机事件，且 ，令

 

求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布；

（II）X和Y的相关系数

【分析】 先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数。

【详解】 （I） 由于 ，

 

所以， ，

，

 

 

=

（或 ），

故(X,Y)的概率分布为

Y

X 0 1

0

1

(II) X, Y的概率分布分别为

X 0 1 Y 0 1

P P

则 ， ，DY= , E(XY)= ,

故 ，从而

 

【评注】 本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强。通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。

 

设总体X的分布函数为

 

其中未知参数 为来自总体X的简单随机样本，求：

（I） 的矩估计量；

（II） 的最大似然估计量.

【分析】 先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可。

【详解】 X的概率密度为

 

（I） 由于

，

令 ，解得 ，所以参数 的矩估计量为

 

（II）似然函数为

 

当 时， ，取对数得

，

两边对 求导，得

，

令 ，可得 ，

故 的最大似然估计量为

 

【评注】 本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性。