柯忠义

（惠州学院数学系，广东，惠州，516007）

 

　　摘要：讨论了如何由两个边缘分布为正态分布的随机变量，逆向构造二维正态分布的问题。先指出构造中容易出现的几个错误，再说明由边缘分布逆向构造二维正态分布应满足的条件和方法，进一步讨论了两个独立随机变量的线性组合而成的向量构造二维正态分布的问题。

关键词：二维正态分布 边缘分布 逆向构造

 

　　从二维正态分布密度函数的性质，不难得出它的两个边缘分布均服从正态分布，但问题反过来，若已知两个一维随机变量X、Y的边缘分布均服从正态分布，能否确定二维随机向量（X、Y）的联合分布为二维正态分布？这个问题较为复杂，要分不同情况进行讨论。

若已知两个一维随机变量X、Y的边缘分布均服从正态分布，且X与Y相互独立，则情况较为简单，从独立性的定义立即可得出，（X、Y）的联合分布为二维正态分布；但独立性得不到满足的情况下，情况就变得较为复杂。

　　（一）若已知两个一维随机变量X、Y的边缘分布均服从正态分布，但X与Y不相互独立，则在一般的情况下不能得出它们的联合分布为二维正态分布。以下举例说明。

已知（X、Y）的密度函数为：

则：

由于

故 ，

同理， 。

显然， 与 均为一维正态分布的密度函数，但 不是二维正态分布的密度函数。

（二）若已知两个一维随机变量X、Y的边缘分布均服从正态分布，且知道这两个随机变量不相关，即X与Y的相关系数 ，同样不能得出它们的联合分布为二维正态分布。值得说明的是，在X与Y不独立的情况下，可以是 ，也可以是 。 只能说明两个随机变量X、Y不存在线性相关关系，但它们还可能存在非线性的关系。下面举例说明当两个随机变量X、Y的边缘分布均为正态分布时，即使 ，也不一定得出它们的联合分布为二维正态分布。

设（X、Y）的联合密度函数为：

，其中

 

显然，（X、Y）的密度函数 不是二维正态分布。但可以取适当的参数，使X与Y的相关系数 ，且其边缘分布为正态分布。下面举例说明。

为了方便起见， ， ， ，于是，

= ，

= ，

此时，X、Y均服从正态分布，进一步，可以求出X、Y的期望和方差，即 , 。再求X与Y的协方差 及相关系数 。

由于

 

可得 ,于是 。

可见，即使X、Y的边缘分布服从正态分布，且其相关系数 ，同样不能保证其联合分布为二维正态分布。

两个不相互独立随机变量的边缘分布为正态分布时，能否逆向构造其联合分布为二维正态分布？两个不独立关系的随机变量可分为非线性相关和线性相关两种类型，当这两个变量是非线性相关时，它们不能逆向构造二维正态分布；当它们是线性相关，并且是两个独立服从正态分布的随机变量的线性组合，则可逆向构造二维正态分布。下面举例说明后一种情况的逆向构造问题。

现假设随机变量X、Y的分布分别为 , ，它们的相关系数 ，并且是随机变量 、 的线性组合。其中， ， ，且 、 相互独立。此时，可以逆向构造二维随机向量（X、Y）的联合分布为二维正态分布。具体地讲，设 ，其中， ， 为服从二维标准正态分布的随机向量， 和 分别为2×1和2×2的常数矩阵，且B为非奇异阵。显然，随机变量X、Y的边缘分布均为正态分布。进一步，根据二维正态分布的定义，可证 服从二维正态分布。且Z的均值和方差分别是 ，其中 为正定矩阵。取 ，则（X、Y）联合分布的密度函数为：

，经过整理后得到：

接下来，举例说明如何确定常数矩阵B，设 , ,且X、Y是有两个独立的标准正态分布经过线性变换而来，且相关系数 ，容易写出写出二维随机变量 的密度函数为： 。

进一步求线性变换 中的2×2的常数矩阵B，令 ， ，其中， ， ，且 、 相互独立。于是可得： 。将矩阵B代入上式，得到： ， ， 。显然，上式关于 的方程组有无数组实数解，但其有理解可唯一确定。事实上，由（1）+（3）+2×（2）得到 ，由（1）+（3）-2×（2）得到 ，可求出 的有理解为 。

当随机变量X、Y为相互独立的时，则其联合分布立即由 确定，但将X、Y经过不同的线性组合后得到两个新变量，如何确定它们组成的二维随机向量的分布？不失一般性，设 ， ，且 、 相互独立，又设 ， ，显然，X、Y此时满足线性相关的条件，不难求出其相关系数 ，将 、 标准化得到 ， ，则 与 相互独立。又设 = = ，因此， = ，于是 满足二维正态分布的条件： ，其中， ， ， ，可写出 的密度函数为： ，进一步可算出 ， ，通过整理得到：

本文讨论了如何由两个边缘分布为正态分布的随机变量，逆向构造二维正态分布的问题。先指出构造中容易出现的几个错误，接着阐述当随机变量不相互独立时，由边缘分布为正态分布的随机变量逆向构造二维正态分布的条件和方法，进一步讨论了两个独立的正态随机变量，由其线性变换得到的二维向量逆向构造二维正态分布的方法。

 

参考文献：

[1]高等数理统计，茆诗松等编著，高等教育出版社。

[2] 高等数理统计，陈希孺著，中国科学技术出版社。

[3] 概率论与数理统计，中山大学数学力学系编，高等教育出版社。

[4] 概率论与数理统计，龙永红主编，高等教育出版社。

[5] 概率统计，同济大学概率统计教研组编，同济大学出版社。

Kezhongyi

(Department of mathematical, huizhou university ,huizhou 516007)

Abstract In this paper ,first discuss common fault in reverse determination of normal distribution of two variable, then discuss how to determine normal distribution of two variable. last, give a example about the discussion above.

Key word normal distribution margin distribution reverse distribution