《数学分析》课程教学大纲

　　本课程适用专业为：数学与应用数学；学时：276，学分：16学分，分三学期授课（第一、二、三学期）。

　　二、课程的性质、目的和任务

　　本课程是高等师范院校数学教育专业的一门最重要的基础课，授课时间最长。

　　通过本课程的学习使学生掌握极限论，一元函娄数微积分学，无穷级数及多元函数微积分学方面的系统知识。为进一步学习复变函数论，微分方程，微分几何，概论论与数理统计，实变函数，数学模型等后续课程，也是为深入理解初等数学及从事中学数学工作打下坚实的基础。

　　三、课程的基本内容、重点及难点

　　（一）   函数

　　 函数概念，函数的四则运算，图象、数列、函数的有界性、单调性，奇偶性，周期性，复合函数，反函数，初等函数。

　　重点和难点：函数的概念与表示，函数的复合运算。

　　（二）   数列极限

　　极限思想、数列极限概念、收敛数列的性质；唯一性、有界性、单调性，保号性、迫敛性；收敛数列的四则运算，数列收敛的判别法；

 单调有界定理，柯西收敛准则；子数列及其收敛性。

　　重点和难点：数列极限概念，——N方法的运用

　　（三）   函数极限

　　 X→∞时函f(X)的极限，X→a时函数f(X)的极限，单侧极限，函数极限的性质，函数极限与数列极限的关系，函数极限存在判别法，

无穷小，无穷大，无穷小的比较。

　　重点和难点：函数极限概念，方法的运用，柯西收敛准则。

　　（四）   连续函数

　　函数在一点的连续，函数在区间的连续性，单侧连续性，间断点及其分类，连续函数的局部性质；闭区间上连续函数的性质；有界

性，最值性，介值性，一致连续性；连续函数的四则运算，反函数，复合函数及初等函数的连续性。

　　（五）   实数的连续性

　　实数连续性的基本定理：闭区间套定理，确界定理，有限复盖定理，聚点定理，致密性定理，柯西收敛准则；闭区间连续函数性质的

证明。

　　重点与难点：柯西收敛准则，实数完备性定理的等价性。

　　（六）   导数与微分

　　引出导数概念的实例，导数概念；求导法则与导数公式；隐函数与参数议程求导法则；微分概念及运算，近似运算；高价导数与高阶

微分。

　　重点与难点：导数概念及其计算，复合函数微分法。

　　（七）   微分学基本定理及其应用

　　微分中值定理；待定型计算的洛必达法则；泰勒公式；导数在研究函数上的应用；单调性的判定，极限与最值，曲线凸凹性，拐点，

渐近性；函数图象的描绘 

　　重点与难点：不定积分的概念与计算，第一换元积分法。

　　（八）   不定积分

　　原函数与不定积分的的概念，基本初等函数的积分公式；换元积分法与分部积分；有理函数的积分法，三角函数及简单无理函数的不

定积分。

重点与难点：不定积分的要领概念与计算，第一类换元积分法。

　　（九）   定积分

　　引出定积分概念的实例，定积分概念；可积准则：可积必要条件，小和与大各，可积充要条件，三类可积函数；定积分性质；定积分

的计算：积分的上限函数，定积分基公式，换元积分与分部积分法；定积分的应用：微元法，平面面积，体积，弧长，旋转曲面面积的

计算，定积分在物理上的应用。

　　重点与难点：定积分的概念，积分上限函数，定积分基本公式，微元法。

　　（十）   无穷级数

　　1、 数值级数：级数收敛与发散的概念，收敛级数的性质，正项级数及敛散性的判定；交错级数，任意项级数，任意项级数，绝对

收敛，条件收敛。

　　2、 函数项级数：函数级数的收敛域，一致收敛的概念与判定；函数列的一致收敛和函数的分析性质。

　　3、 幂级数：幂级数的收敛域，幂级数各函数的分析性质，泰勒级数，基本初等函数的幂级数展开，幂级数的应用。

　　4、 付立叶级数

　　重点与难点：正项级数收敛法，函数级数一致收敛的概念与判定，幂级数收敛区间和函数求法，初等函数的幂级数展。

　　（十一）多元函数微分学

 　　1、多元函数：平面点集，坐标平面的连续性，多元函数的概念。

 　　2、二元函数的极限与连续。

　　3、多元函数微分法：偏导数，全微分定义及几何意义，复合函数微分法，方向导数

　　4、高阶导数与二元函数的泰勒公式。

　　重点与难点：二重极限，累次极限，二元函数的连续性，多元复合函数的微分法。

（十二）隐函数的存在性定理及其应用

　　1、 隐函数概念，隐函数存在性定理，隐函数求导法则；隐函数组，隐函数组的存在性定理及求导法则。

　　2、 函数行列式及其性质

　　3、 几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；条件极值。

　　重点与难点：隐函数存在性定理及求导法则。

（十三）广义积分与含参变量积分

　　1、 无穷积分：无穷积分收敛与发散的概念，无穷积分的性质，无穷积分敛散性的判定。

　　2、 瑕积分：瑕积分收敛与发散的概念，瑕积分敛散性的判定。

　　3、 含参变量的有限积分，含参变量的无穷积分，函数与函数。

重点与难点：无穷积分、瑕积分收敛与发散的概念，判定。

（十四）重积分

　　1、 二重积分：引出二重积分定义的实例，二重积分的概念，性质，二重积分的计算，二重积分的换元，曲面面积。

　　2、 三重积分：三重积分的定义，计算，换元及简单应用。

重点与难点：二重积分的概念与计算，三重积分的换元。

（十五）曲线积分与曲面积分

　　1、 曲线积分：第一、二型曲线积分的概念与计算；格林公式，曲线积分与路径无关的条件。

　　2、 曲面积分：第一、二型曲面积分概念与计算，奥高公式，斯托克斯公式。

　　3、 场论初步：梯度，散度，旋度。

重点与难点：两类曲线积分的概念及计算，格林公式及曲线积分与路径无关的条件。

 

 

　　四、学时分配表

 

　　五、教材与教学参考书

　　 [1]  华东师范大学数学系编 （第三版） 数学分析（上 、下册）， 高等教育出版社， 2001.

　　[2]  江泽坚、吴智全、周光亚编《数学分析》上下册，人民教育出版社;

　　[3]  刘玉琏编《数学分析讲义》上下册，高等教育出版社;

　　[4]  谢惠民等编《数学分析习题课讲义》(上、下册),高等教育出版社2003;

　　 [5]  菲赫金尔茨《微积分教程》，人民出版社， 1956;

　　 [6]  周民强编著《数学分析》，上海科学技术出版社， 2003 ;

　　 [7]  波耶, 微积分概念史, 上海人民出版社, 1977;

　　 [8]  陈传璋、金福临、朱学炎、欧阳光中, 数学分析 (第二版), 高等教育出版社, 1983;

　　 [9]  柯朗、约翰 , 微积分和数学分析引论 , 科学出版社 , 1979.

　　[10] 方企勤、林源渠 ， 数学分析习题课教材 , 北京大学出版社 ,1990.

　　 [11] 华罗庚, 高等数学引论, 科学出版社, 1963.

　　 [12] 吉米多维奇, 数学分析习题集, 人民教育出版社, 1958.

　　[13] 克莱鲍尔, 分析中的问题与命题, 湖南师范学报, 1984.

　　[14] 克莱因, 古今数学思想, 上海科学技术出版社, 1979.

　　[15] 菲赫金哥尔茨著《数学分析原理》第一、二卷，人民教育出版社;

　　[16] 常庚哲等编《数学分析》，高等教育出版社， 2003 ;

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